加藤文元「宇宙と宇宙をつなぐ数学」

そもそも私は「ABC予想」というものを本書で初めて知ったのだが、これについても本書には丁寧な解説がある。ABC予想が「何を問うているのか」は、素数と素因数分解が分かれば理解できる。すなわち、かなり基本的な問いかけのように見える。
しかし、この予想を証明することは極めて難しいらしい。そしてこの困難性の本質は「たし算とかけ算が複雑に絡み合っている」点に起因するようだ。「たし算とかけ算が複雑に絡み合っている」 というのが如何なる事態なのか分かり難いが、本書を読めば「少しは」分かってくる・・・。
それにしても、たし算とかけ算という、小学校で習う基本的なところにも 未解決課題が潜んでいる、というところがおもしろい。
著者はIUT理論の説明のなかで、パラレルワールドを例に（例え話として）用いているが、これは多元宇宙論（マルチバース）の方が近いように感じた。多元宇宙論では、「我々の宇宙」を支配する物理法則は、「たまたま」そのような法則になっただけだと考え、我々の宇宙以外にも複数の宇宙があると考えている。そして、それら他の宇宙には、我々の宇宙とは異なる物理法則が存在し得るという。
IUT理論は複数の宇宙（すなわち、それぞれが異なる物理法則に従う宇宙）を考えているようなのだ。これをもう少し噛み砕いて表現すれば、複数の数学体系を有する空間を考える、ということだろうか？
複数の数学体系 のうちの一つが、いまいま存在している（私たちが学校で習う）数学体系である。

数学を研究する方法に関して著者は次のように書いている。
「数学を進めるためには一歩一歩のロジックの積み重ねだけでなく、直観的で全体把握型の認識が必要なのです」
これは数学に限らず、IT分野（情報処理システム）など、他の分野にも共通する認識方法だと思う。ITシステムを構築するとき、顧客の要件を聞いていきなりプログラミングする人はいないだろう。システムの全体像を把握してトップダウンで機能やアーキテクチャを詰めていく。その一方で、ボトムアップ的に実装するロジックやサブシステムの構成などを検討するルートが併存する。
考えてみれば、これは「人がモノを認識する」ときの方法に由来していると思われる。人がモノを認識するとき（例えば目の前の建物を認識するとき）には、視覚認識の脳内メカニズムとして、ボトムアップの経路とトップダウンの経路がある。
ボトムアップの経路では、建物の色や窓の形状など、詳細なレベルの情報処理が行われる。一方、トップダウンの経路は全体のゲシュタルト（大まかな構造）を処理する。目の前の建物を認識するとは、個々の詳細な形状情報が、全体のゲシュタルトによって組織化（体系化）されることだそうだ。

著者は「直観的」と言っているが、その分野の知識や経験がなければ「直観」は生まれない。直観は、無意識のレベルで考えていたことが、あることを契機に意識のレベルに到達することだという話を聞いたことがある。従って、数学の専門知識がない私たちに、数学研究における直観が生まれることはないだろう。

ABC予想は（あるいはフェルマーの最終定理なども）、数学における基本的なレベルに困難な課題があることを教えてくれる。しかし、これは数学に限った話ではない。他の分野でもかなり基本レベルのところに非常に困難な課題がある。
「存在とは何か」という問いかけは、哲学の分野では西洋でも東洋でも、古くからいろいろな理論（考え方）があるようだが、問いかけ自体は非常に基本的でシンプルなものだ。
「時間とは何か」、「時間はいつ、どのようにして生まれたのか」という問いかけは、哲学的にも物理学的にも難問であるに違いない。小さな子供から「時間ってなあに？」と聞かれた時、果たしてまともに答えられる大人はいるだろうか？
科学は「時間を正確に測定する方法」を発展させてきた。古くは振り子時計、その後クオーツ時計の発明で時間測定の精度が上がった。さらに最近は原子時計によってさらに精度が上がったそうだ。
しかしどんなに精度が上がっても、「人間が時間を認識する」までの時間を考えると、そこには大きな時間の遅延があるはずだ。何を言っているのかというと、人間が目の前の時計で時間を認識するときの、神経系の伝達経路を考えたときの話である。
眼の網膜に写った時計の像が脳内の神経系を伝わって意識されるまでには（詳しいことは知らないが300ミリ秒くらいの）時間を要する。すなわち、目の前の時計が10時丁度を指し示していたとしても、それは300ミリ秒前の出来事（過去のこと）なのである。この遅延時間は人によっても異なるであろう。
つまり「一般の人」が時間の精度を気にするのはあまり意味がないことであり、私たちが正確な時間を認識すること自体かなり困難なことなのだ。

宇宙論（ビッグバン宇宙論）では「なぜ、何も無いところから何か（モノ）が生まれたのか？」が問題になる。さらに、そもそも「無とは何か、有とは何か」ということを考えると、先に挙げた存在論とも関係してくる。

私たちの意識や心と、脳との関係というのも基本的なレベルの難問である。
これは神経生理学（および神経科学？）や心理学、（あるいは量子力学も？）などが関係してくる難問である。そもそも、意識や心など実体がない（対象となるモノが存在しない）ものは科学では扱えないと考えられていたが、fMRI（機能的磁気共鳴画像法）などの進歩で解明が進んでいるようである。（それでも、全容解明までの道のりは相当に長く険しいようにみえる）

AI（人工知能）の分野では、AIは言葉の意味を理解できない、ということがしばしば指摘されるが、そもそも「ことばの意味を理解する」というのがどのような事態で、どのような仕組みに基づくのかが難問である。
これに関連して、幼児はいかにして母語を獲得するのか、どこまでが生得的なものなのか（遺伝子情報として組み込まれているのか）、といった基本的なことも難問である。
進化論的な側面からは、なぜヒトは言語を獲得したのか（何が進化論的に優位だっかのか）も難問だろう。これは、仮説は立てられても実証することが極めて難しいという意味で難問である。

これ以外にも、私が知らないだけで、各分野には基本レベルの難問（未だ解明されていない課題）が数多くあるに違いない。それにしても、「基本レベルのところに難問がある」というのはなんだか不思議な感じがする。
（ここには挙げなかったけれども、「生とは何か、死とは何か」という基本的な問題は、哲学的にも、宗教的にも難問・・・、というか、根本的な問いかけであり、宗教が存在する理由そのものなのだろう・・・・）

話が随分と横道にそれてしまった（広がってしまった）が、本書は私たちの好奇心を刺激してくれる好著だと感じた次第。